Tenia un equipo con Ubuntu 15.10 y al actualizarlo a 16.04 MySQL dejo de funcionar, para repararlo seguí los siguientes pasos.
Primero hay que hacer un respaldo de la carpeta de bases de datos /var/lib/mysql y de la de configuraciones /etc/mysql.
Desinstalar MySQL con el siguiente comando.
[simterm]$ sudo apt purge mysql-server mysql-server-5.7 mysql-server-core-5.7[/simterm]
Reinstalar MySQL.
[simterm]$ sudo apt install mysql-server[/simterm]
Iniciar MySQL.
[simterm]$ sudo systemctl start mysql.service[/simterm]
[simterm]$ sudo apt install mysql-server[/simterm]